为什么要发明和使用微积分

更新时间：2023-02-01 02:26:32 来源：YIQ网

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1、为什么要发明和使用微积分

在16、17世纪左右，很多科学家在研究运动的问题。于是，从物理问题中引出了函数概念，比如伽利略所著的《关于两门新科学的对话》中几乎从头到尾包含了“变量之间的关系”这个思想。函数的符号表示，自然是由那位热爱研究符号的大数学家发明的，就是那个创造了一整套微积分符号的莱布尼茨。另外，函数这个名词也是莱布尼茨在1673年的一篇手稿中使用的。微积分是紧接着函数概念的采用而产生的，其创立首先是为了处理17世纪主要的科学问题，有这么四类：

1、已知物体的位移-时间函数，求其在任意时刻的速度与加速度；反过来，已知物体的加速度-时间函数，求速度与位移。

2、求曲线的切线。

3、求函数的最大值与最小值。

4、求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。

2、官方双语微积分的本质

1、两种重要的、针对函数的运算：求导与积分。它们的运算结果也是一个函数。先说求导。对于函数 f(x) ，它的导函数（即求导运算的结果，简称导数）记作 f′(x) 。简单来说，f′(x0) 就是f(x) 在 x0 这点的切线斜率。即， f′(x) 是 f(x) 的切线斜率关于切点横坐标的函数。

为了方便描述，引入一个表示「微小变化量」（自己起的名字）的符号。以后默认用 dx 表示变量 x 的变化量（ dy 表示变量 y 的变化量，以此类推），且 dx 趋近于 0 。那么对于 x0 和它的函数值 f(x)=y ，设当 x 增加了 dx 时 y 增加了 dy 。由于这个变化量是「微小」（趋近于 0 ）的，所以 x 和 x+dx 之间的函数图象可以近似成一条直线，它的斜率就是 dydx 。因此，有时也把导函数写成 f′(x)=dydx 。

注意，不同的 x 会造成 dy 取不同的值。有点懵？先从最简单的例子，一次函数说起。显然，无论 x 如何改变，也无论 dx 取何值（哪怕不趋近于 0 ），dydx 都是一个定值，即这个一次函数的斜率 k （换句话说，这个一次函数处处的切线都与它本身重合）。因此，一次函数的导数是一个常函数 f′(x)=k 。

再举一个稍复杂的例子。对于 f(x)=x2 ，可以这样求出它的导函数：f′(x)=dydx=f(x+dx)?f(x)dx=(x+dx)2?x2dx=2dx?x+dx2dx=2x+dx由于 dx 趋近于 0 ，所以 f′(x)=2x 。于是我们成功算出了 f(x)=x2 的导数是 f′(x)=2x 。不妨再拓展一下，证明 f(x)=xk 的导数是 f′(x)=kxk?1 。做法和刚才类似（其中用了一次二项式定理）：f′(x0)=f(x0+dx)?f(x0)dx=(x0+dx)k?xk0dx=∑ki=0Cikxi0dxk?i?xk0dx=∑k?1i=0Cikxi0dxk?idx=∑i=0k?1Cikxi0dxk?i?1。

到这里似乎不知道怎么办了？别忘了 dx 趋近于 0 ，所以只有 k?i?1=0 即 i=k?1 这一项是非 0 的！激动.jpg 。所以，f′(x0)=kxk?10 。x0 是任意的，所以 f′(x)=kxk?1 。

2、导数的加减：h(x)=f(x)+g(x),h′(x)=f′(x)+g′(x)。设 yf=f(x) ，yg=g(x) ，yh=h(x) （类似的记号下面不再赘述），同时别忘了 f′(x)=dyfdx ， g′(x)=dygdx ，则有：∵yh=yf+yg,(yh+dyh)=(yf+dyf)+(yg+dyg)∴dyh=dyf+dyg=f′(x)dx+g′(x)dx=(f′(x)+g′(x))dx两边同时除以 dx ，得到 h′(x)=dyhdx=f′(x)+g′(x) 。

3、导数的乘法：h(x)=f(x)g(x),h′(x)=f(x)g′(x)+f′(x)g(x)口诀：「左乘右导，右乘左导」证明如下：∵yh=yf?yg,(yh+dyh)=(yf+dyf)?(yg+dyg)∴dyh=yf?yg+yf?dyg+yg?dyf+dyf?dyg?yh=yf?dyg+yg?dyf+dyf?dyg=f(x)?g′(x)dx+g(x)?f′(x)dx+f′(x)dx?g′(x)dx两边同时除以 dx 得：h′(x)=f(x)g′(x)+f′(x)g(x)+f′(x)g′(x)dx同样，带 dx 的项趋近于 0 ，因此 h′(x)=f(x)g′(x)+f′(x)g(x) 。

4、链式法则：若 h(x)=f(g(x)) ，则 h′(x)=f′(g(x))?g′(x) 。当自变量从 x0 变成 x0+dx ，则 yf 的变化量是 f′(x0)dx 。现在，g 的自变量的变化量是 dx ，yg 的变化量是 g′(x)dx ，所以 yf 的变化量是 f′(g(x))?g′(x)dx （注意 f 的自变量的初值是 g(x) 不是 x ）。因此 h′(x)=f′(g(x))?g′(x) 。

5、导数的除法：若 h(x)=f(x)g(x) ，则 h′(x)=g(x)f′(x)?f(x)g′(x)g(x)2。

6、证明：∵yh=yfyg,(yh+dyh)=yf+dyfyg+dyg∴dyh=yf+dyfyg+dyg?yfyg=yg(yf+dyf)?yf(yg+dyg)yg(yg+dyg)=g(x)f(x)+g(x)f′(x)dx?f(x)g(x)?f(x)g′(x)dxg(x)2+g(x)g′(x)dx=g(x)f′(x)dx?f(x)g′(x)dxg(x)2+g(x)g′(x)dx。两边同时除以 x ，得到：h′(x)=g(x)f′(x)?f(x)g′(x)g(x)2+g(x)g′(x)dx，由于 dx 趋于 0 ，所以：h′(x)=g(x、f′(x)?f(x)g′(x)g(x)2。

3、高数和微积分有什么区别

高等数学里面包括微积分，但只是有微积分的一部分，还包含其他数学部分。

积分的课程主要是学习微积分，比高等数学要难，还包括复变函数，积分变换等，但这两项在高等数学里面只是简单介绍。

高等数学是将简单的微积分学,概率论与数理统计,以及深入的代数学,几何学,以及他们之间交叉所形成的一门基础学科。而微积分是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支,它是数学的一个基础学科。

4、微积分在经济学中的应用

在经济学中，运用微积分可以对经济活动中的实际问题进行量化分析，从而为企业经营者科学决策的制定提供依据。对企业的经营和决策者来说，在经济分析中应用微积分定量的方法进行精确、严谨的决策，可以为决策者和经营者提供严谨的分析方法和新思路，积分模型在经济应用中有较大的发展空间，尤其是当前计算机应用的不断推广.通过建立数学微积分模型，是实现高效决策和科学决策的重要路径，也是企业提升自身竞争力的必由之路。